Backtracking-NQueens
文章树列

N皇后

51. N皇后

题目描述

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上,并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

ANUzjA.png

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n,返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案,该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例:

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输入: 4
输出: [
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],

["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

问题分析

约束条件为每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。

使用一维数组表示一种解法,下标(index)表示行,值(value)表示该行的Q(皇后)在哪一列。
每行只存储一个元素,然后递归到下一行,这样就不用判断行了,只需要判断列和对角线。

Solution1

当result[row] = column时,即row行的棋子在column列。

对于[0, row-1]的任意一行(i 行),若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一列,则有result[i] == column;
若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一对角线,等腰直角三角形两直角边相等,即 row - i == Math.abs(result[i] - column)

布尔类型变量 isValid 的作用是剪枝,减少不必要的递归。

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public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
// 下标代表行,值代表列。如result[0] = 3 表示第1行的Q在第3列
int[] result = new int[n];
List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
dfs(resultList, result, 0, n);
return resultList;
}

void dfs(List<List<String>> resultList, int[] result, int row, int n) {
// 递归终止条件
if (row == n) {
List<String> list = new LinkedList<>();
for (int x = 0; x < n; ++x) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int y = 0; y < n; ++y)
sb.append(result[x] == y ? "Q" : ".");
list.add(sb.toString());
}
resultList.add(list);
return;
}
for (int column = 0; column < n; ++column) {
boolean isValid = true;
result[row] = column;
/*
* 逐行往下考察每一行。同列,result[i] == column
* 同对角线,row - i == Math.abs(result[i] - column)
*/
for (int i = row - 1; i >= 0; --i) {
if (result[i] == column || row - i == Math.abs(result[i] - column)) {
isValid = false;
break;
}
}
if (isValid) dfs(resultList, result, row + 1, n);
}
}

Solution2

使用LinkedList表示一种解法,下标(index)表示行,值(value)表示该行的Q(皇后)在哪一列。

解法二和解法一的不同在于,相同列以及相同对角线的校验。
将对角线抽象成【一次函数】这个简单的数学模型,根据一次函数的截距是常量这一特性进行校验。

这里,我将右上-左下对角线,简称为“\”对角线;左上-右下对角线简称为“/”对角线。

“/”对角线斜率为1,对应方程为y = x + b,其中b为截距。
对于线上任意一点,均有y - x = b,即row - i = b;
定义一个布尔类型数组anti_diag,将b作为下标,当anti_diag[b] = true时,表示相应对角线上已经放置棋子。
但row - i有可能为负数,负数不能作为数组下标,row - i 的最小值为-n(当row = 0,i = n时),可以加上n作为数组下标,即将row -i + n 作为数组下标。
row - i + n 的最大值为 2n(当row = n,i = 0时),故anti_diag的容量设置为 2n 即可。

ANXG79.png

“\”对角线斜率为-1,对应方程为y = -x + b,其中b为截距。
对于线上任意一点,均有y + x = b,即row + i = b;
同理,定义数组main_diag,将b作为下标,当main_diag[row + i] = true时,表示相应对角线上已经放置棋子。

有了两个校验对角线的数组,再来定义一个用于校验列的数组cols,这个太简单啦,不解释。

解法二时间复杂度为O(n!),在校验相同列和相同对角线时,引入三个布尔类型数组进行判断。相比解法一,少了一层循环,用空间换时间。

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List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
boolean[] cols = new boolean[n];
boolean[] main_diag = new boolean[2 * n];
boolean[] anti_diag = new boolean[2 * n];
LinkedList<Integer> result = new LinkedList<>();
dfs(result, 0, cols, main_diag, anti_diag, n);
return resultList;
}

void dfs(LinkedList<Integer> result, int row, boolean[] cols, boolean[] main_diag, boolean[] anti_diag, int n) {
if (row == n) {
List<String> list = new LinkedList<>();
for (int x = 0; x < n; ++x) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int y = 0; y < n; ++y)
sb.append(result.get(x) == y ? "Q" : ".");
list.add(sb.toString());
}
resultList.add(list);
return;
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (cols[i] || main_diag[row + i] || anti_diag[row - i + n])
continue;
result.add(i);
cols[i] = true;
main_diag[row + i] = true;
anti_diag[row - i + n] = true;
dfs(result, row + 1, cols, main_diag, anti_diag, n);
result.removeLast();
cols[i] = false;
main_diag[row + i] = false;
anti_diag[row - i + n] = false;
}
}
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